計算題 4   印象中有看過如下方法:


所求 = ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ] C(n,k) p^k * q^(n-k)   [ 在此 q = 1 - p ]


由形態聯想到 1. 二項式定理  2. 反導函數，於是考慮:

f(t) = (pt + q)ⁿ = ∑(k=0 to n) C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^k

取反導函數得:

[1/p(n+1)] (pt + q)ⁿ⁺¹ = { ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ]*C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^(k+1) } +  qⁿ⁺¹/p(n+1)

比較所求式，只要 t = 1 代入即可:

所求 = (1- qⁿ⁺¹) / p(n+1) = [ 1- (1 - p)ⁿ⁺¹ ] /  p(n+1)

填充題 4  某老師一天可能有 3 到 5 堂數學課 (一天有 8 堂)，但不能有連續 3 堂，且第 4 與第 5 堂不能皆排課，則一天有多少種排數學課的方法 (不考慮不同班級) ?  


想法: 基於 "4，5 皆排，但無連 3" 的方法數容易求得，故構思如下解法。


解: 所求 = (3 到 5 堂) - (3 到 5 堂且有連 3) - (3 到 5 堂且無連 3，但 4，5 皆排)

A. 3 到 5 堂:  ΟΟΟΟΟΟΟΟ

C(8,3) + C(8,4) + C(8,5) = 182


B. 3 到 5 堂且有連 3:  (至此再用取捨原理)  ΟΟΟΟΟΟΟΟ

6*[ 1 + C(5,1) + C(5,2) ] - 5*[ 1+ C(4,1) ] - 連 5 + 連 5 = 96 - 25 = 71

註: 6: 連 3 的位置;  5: 連 4 的位置。連 5 方法數 = 4，但會相消不算亦可。


C. 3 到 5 堂且無連 3，但 4，5 皆排:  ΟΟ×ΟΟ×ΟΟ

C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) = 14


所求 = A - B - C = 182 - 71 - 14 = 97


註: 亦可用  (3 到 5 堂) - (3 到 5 堂且4，5 皆排) - (3 到 5 堂且無 4，5 皆排，但有連 3)