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107新竹高中(記憶版)

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1. \(a,b,c \in\mathbb{R}\),若\(a^2+b^2+c^2=10,d^2\leq 4\),則\(\left |\begin{array}{ccc}
a&b&c\\1&d&2\\2&1&3\end{array}\right| \)的最大值為?

第三列忘記對不對了,只記得第一列跟第二列的1,d

2.\(x,y\in\mathbb{R},-2\leq y\leq\sqrt{25-x^2}\),\(x+2y\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\),數對\((M,m)\)為?

3.有兩條直線\(L_1:y=2x-106\)、\(L_2:y=3x-107\),平面座標上有一點\(P(4,5)\)對\(L_1\)的對稱點為\(Q\),\(Q\)對\(L_2\)的對稱點為\(R\),\(L_1,L_2\)的交點為\(K\),則\(\tan PKR\)為?

4.一題極限,忘記函數是什麼了

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 16:17 編輯 ]

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回復 4# z78569 的帖子

第三張圖片,是不是有平方啊?

\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+\dots+|2-\omega^6|^2\)

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回復 7# royan0837 的帖子

填充3

設\(\log A=3+3n,\log B=3+n\),\(3\log B-\log A=6\rightarrow\frac{B^3}{A}=10^6\rightarrow(\frac{B}{10^2})^3=A\)

B為四位正整數,所以可以知道B為100的倍數,\((\frac{B}{10^2})^3\)最大值要接近9999

\(A=21^3=9261\)最接近,則\(\frac{B}{10^2}=21\rightarrow B=2100\)

填充7,我是看成三向量所展開的平行六面體最大值,那就是互相垂直,直接長度相乘,不確定對不對...XD

ps. 這邊不能直接用\implies的指令嗎?

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-19 08:44 編輯 ]

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計算4

\(E(\frac{1}{X+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}C^n_{k}p^k(1-p)^{1-k}\)

其中\(\displaystyle\frac{1}{k+1}C^n_{k}=\frac{1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times n!}=\frac{n+1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times k!\times(n+1)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times(n-k)!}\times\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}\)

所以\(\displaystyle E(\frac{1}{X+1})=\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}\)

設\(t=k+1\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}=\sum_{t=1}^{n+1}\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}=\frac{1}{(n+1)p}\times(\sum_{t=0}^{n+1}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}-(1-p)^{n+1})\)
\(\displaystyle=\frac{1}{p(n+1)}\times((p+1-p)^{n+1}-(1-p)^{n+1})=\frac{1-(1-p)^{n+1}}{p(n+1)}\)

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 22:02 編輯 ]

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第八題我是這麼算的,不知道有沒有哪邊有錯誤?

\(\omega=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)為\(z^7=1\)的一個複數根

\(z^7-1=0\)可以分解成\((z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)

所以\((\omega-1)(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=0\)

\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2\)展開可得

\(24-3(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=27-3(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)\)

因為\(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=0\)

所以\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2=27\)

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回復 13# czk0622 的帖子

謝謝老師~~我搞錯方向了!!

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回復 34# Christina 的帖子

我不知道鋼琴老師有沒有更方便的方式

我的方式是慢慢算XD

(1)一天三節:全部-連三節排-四五同時排但不連三
\(\displaystyle C^8_3-\displaystyle\frac{6!}{5!}-4=46\)

(2)一天四節:全部-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三也不連四
\(\displaystyle C^8_4-\displaystyle{5!}{4!}-C^5_2 \times 2!-(2+C^2_1 \times C^2_1)=39\)

(3)一天五節:全部-連五節排-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三、不連四、不連五
\(\displaystyle C^8_5-\displaystyle{4!}{3!}-C^4_2 \times 2!-(C^4_2 \times 2!+C^4_3 \times\displaystyle\frac{3!}{2!})=12\)

一共97種

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-17 11:52 編輯 ]

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回復 40# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,比我想得快多了!

在考場還在想是不是要用到取捨,想來想去一直到出考場才確定...5分飛了XD

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