二.
令函數\(f\)為正實數映射到實數,且滿足下列條件:
1.\(f\)是嚴格遞增函數
2.對任意正實數\(x\)滿足不等式\( \displaystyle f(x) > -\frac{1}{x}\)
3.對所有正實數\(x\)滿足等式\( \displaystyle f(x)f[f(x)+(\frac{1}{x})]=1 \)
求\(f(2)\)?  Ans:\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4} \)

三.
整數的數列\( (a_1,a_2,\ldots) \)滿足下列關係式
\( \displaystyle a_n=\frac{lcm(a_{n-1},a_{n-2})}{gcd(a_{n-1},a_{n-2})} \),對所有\(n \ge 3\)
已知\(a_{560}=560\),\( a_{1600}=1600\)，則\(a_{2013}\)是　位數字；而且\(a_{2013}\)的個位數字是　，十位數字是　。
(註；\(lcm(a,b)\)與\(gcd(a,b)\)分別是\(a,b\)兩數字的最小公倍數與最大公因數)
Ans:\(a_{2013}=140\)


上面兩題第二題無從下手,第三題驗證很多次發現一定會進入互質的循環,根本無法同時出現\(a_{560},a_{1600} \)及官方給的答案,希望大家能一起討論,是否題目有問題

第二題為什麼會蹦出第一式跟原式比較呢??

第三題，所以題目並不是要求A560與A1600在同一個循環當中嗎??而是這個分段的情況，意即此三個數140 , 560 , 1600 不會出現在相同的循環。
我第三題遇到的疑惑其實就是最後是由140 , 4 , 35 三個數字在循環，這是不是跟原本的命題矛盾？

第二題我了解了,只是能夠想到要湊出括號中的型式，真的很不容易，您太厲害了。
第三題我有觀察到他的循環，只是A560-A1600之間就是一片空白嗎??我的疑惑是此數列有一段不存在，即這個數列在整數域並不連續，這樣命題還合理嗎？

感謝各位解答，APMO的題目真的很有水準，受教了