由歐拉φ函數定理，n是正偶數時， 有 n^2-1 | 2^{ φ(n^2-1) } -1
因此只要證明 φ(n^2-1) | n ! 即可
n是正偶數，因此 n+1 與 n-1 互質 ， 故 φ(n^2-1) = φ(n+1) *φ(n-1)
又由定義知 φ(n+1) <n+1 , φ(n-1) <n+1 ....(A)
令 n+1 的(奇)質因數分解為 p1^{x1}*p2^{x2} ...*pn^{xn} ，那麼 φ(n+1) = p1^{x1 -1 } p2^{x2 -1 } ...pn^{xn -1 } *(p1 -1)*(p2-1)...*(pn-1)
類似的令 n-1 = q1^{y1 } *q2^{y2} ...*qm^{ym} ， 則 φ(n-1) = q1^{y1 -1 } q2^{y2 -1 } ...qm^{ym -1 } *(q1 -1)*(q2-1)...*(qm-1)
由於 n+1 跟 n-1 互質 ，因此任意兩個 pi 跟 qj 都不相同，故任意兩個 (pi-1) 和 ( qj -1) 也不相同
類似的任意兩個 pi 跟 qj-1 也不相同 (p 與 q-1互質)
結合(A)可知，上面 φ(n+1) 跟 φ(n-1) 的因數完全相異 ，且都 <n+1 ，因此所有因數都是 < n+1 的相異數
故 φ(n^2-1) | n !
