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106木柵高工(第二次)

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9. 想到兩個本質上相同的方法

方法一

令 P(贏),P(輸),與 P(補) 依序表示賽程中,剛贏一局者,剛輸一局者,與遞補者最後獲勝的機率。

則: P(補) = P(贏) /2  ;  P(輸) = P(補) /2

⇒ P(贏) = 4/7,P(補) = 2/7,P(輸) = 1/7

所求 = (1/2)*[ P(贏) + P(輸) ] = 5/14


方法二

令所求 = p,則丙最後獲勝的機率 = 1-2p。

則一局後,甲乙的負方,勝方,與丙,最後獲勝的機率依序為 (1-2p)/2 ; (1/2)+(1-2p)/4 ; 1-2p。

由三者之和 = 1,得 p = 5/14

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1. 另解:

觀察到 k 是由 26/25,27/26,28/27,29/28,30/29 這五個值,分子分母分別相加後所得。

故: 26/25 > k > 30/29  (我覺得可視之為 "糖水不等式" 的推廣; 或用代數證明亦不難)

⇒ 104 > 100k > 103.∙∙∙

⇒ 所求 = 103

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