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106木柵高工(第二次)

回復 1# Christina 的帖子

第 8 題
\(f(x)=a_1sinx+a_2sin2x+\ldots+a_n sinnx\),\(a_i\in R,n\in N\)且\(|\;f(x)|\;\le |\;sinx|\;\),\(\forall x\in R\)證明:\(|\;a_1+2a_2+\ldots+na_n|\;\le 1\)
[解答]
\(\left| {{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+\cdots +n{{a}_{n}} \right|=\left| f'\left( 0 \right) \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0} \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=1\)

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回復 4# 袁希睿 的帖子

第 6 題
已知函數\(f\)滿足\(f(0)=0,f'(0)=1\),求\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\)。某學生作法如下:
∵\(\displaystyle \frac{f(0)}{0}\)為\(\displaystyle \frac{0}{0}\)不定型,故依羅必達法可得
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{1}=f'(0)=1\)
請問這樣的做法是否正確?若正確是否能有其他解法?若錯誤請舉一反例說明錯誤之處。
[解答]
反例:f(x) = sinx 時,不能用羅必達,會有循環論證的問題

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回復 12# goodluck 的帖子

在證明\({{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\)時,會用到\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\)
而\(\cos 0=1\),故有循環論證的問題

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回復 14# goodluck 的帖子

您好:

小弟只是舉一個符合題目條件的\(f\left( x \right)\),但在求\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\)時,不適用羅必達法則的例子。

如果您覺得沒有循環論證的問題,那就沒有吧!

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