9.
某圍棋賽由實力相當的甲、乙、丙三棋手參加，規則如下：甲、乙先開始，然後敗者退出由丙遞補重新再下第二盤；接著敗者再退出，再由另一人遞補重新再賽。依此規則最後連勝2局者獲勝，試問最後甲獲勝的機率。
[解答]
想到兩個本質上相同的方法
方法一
令 P(贏)，P(輸)，與 P(補) 依序表示賽程中，剛贏一局者，剛輸一局者，與遞補者最後獲勝的機率。

則: P(補) = P(贏) /2  ;  P(輸) = P(補) /2

⇒ P(贏) = 4/7，P(補) = 2/7，P(輸) = 1/7

所求 = (1/2)*[ P(贏) + P(輸) ] = 5/14


方法二

令所求 = p，則丙最後獲勝的機率 = 1-2p。

則一局後，甲乙的負方，勝方，與丙，最後獲勝的機率依序為 (1-2p)/2 ; (1/2)+(1-2p)/4 ; 1-2p。

由三者之和 = 1，得 p = 5/14

1.
已知有理數\(\displaystyle k=\frac{11\times26+12\times27+13\times28+14\times29+15\times30}{11\times25+12\times26+13\times27+14\times28+15\times29}\)，求\(100k\)的整數部分。
[另解]
觀察到 k 是由 26/25，27/26，28/27，29/28，30/29 這五個值，分子分母分別相加後所得。

故: 26/25 > k > 30/29  (我覺得可視之為 "糖水不等式" 的推廣; 或用代數證明亦不難)

⇒ 104 > 100k > 103.∙∙∙

⇒ 所求 = 103