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這種說法對嗎(關於多項式......)

這種說法對嗎(關於多項式......)

令方程式x^4+2x^3+bx^2+cx+15=0有四個有理根  且b,c皆為整數,試求有理根最大值

做法一:
因為方程式為整係數方程式,所以有理根可能為1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15  等八種
因為四根和為-2    所以取(x+1)(x-1)(x-3)(x+5)   所以最大有理根為3      .....以上這種做法是最常見到的

若把"b,c皆為整數"這個條件拿掉,上述做法是不是就不對......

所以我的做法改為如下

作法二:
假設四根有理根分別為p,q,r,s   根據根與係數可知p+q+r+s=-2   pqrs=15
因為這個聯立方城組我並不知道是不是具有理數解,甚至有解的話是不是會唯一
因此我企圖用愚公移山的方法從有理數系中尋找解(我並不是從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15 當中去尋找),
很超級..超級.....幸運的讓我找到一組不考慮次序性的解,就是(1,-1,3,-5),
接下來我懷疑當這是唯一嗎,我的答案是肯定的,因為根據因式分解定理當中所提到的唯一性
所以上述方城組p+q+r+s=-2   pqrs=15的有理解是唯一的    因此有理根最大值是3

我的問題是
第一:原題目有設定b,c皆為整數,主要目的是不是要讓學生從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15  等八種中去尋找合乎題意的,
而不是從龐大的有理係數當中去尋找
第二:如果第一個問題答案是肯定的,那也就代表"b,c皆為整數"是多餘條件,沒有這個條件依樣可以算(只是難度變大)

以上我的認知是對的嗎......謝謝各位老師........

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引用:
原帖由 tsusy 於 2017-7-7 13:10 發表
作法2 裡

我不知道你怎麼從因式分解定理得推得這裡的方程也會有唯一性的

但,我的直覺是沒有唯一性,應該有其它有理數的解,而且還會很多

為了方便湊,我加了限制條件 \( p+q =0 \) 且 \( r+s =-2 \)

在此條件下,可化簡為 ...
謝謝老師.......我知道我錯在哪裡    我誤用"唯一性"
當b,c沒有固定,怎麼可能分解會唯一呢.....是這樣的吧.....
所以此題若沒有"b,c是整數"的條件限制,會得到一堆有理解
當這個限制加上去,這一大堆有理解瞬間只剩下一組
是這樣的吧.......再次謝謝....

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