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小 發表於 2017-6-7 01:45 顯示全部帖子
填充題 4. 已知 m,n 為正整數且 m² < 7n²,求 7n² - m² 的最小值為 ?
另解: 題意即考慮不定方程 7n² - m² = k,k 的情形。
基於左式有係數 7,分析以 7 為模的餘數是合理的。
m² ≡ 0,1,4,2 (mod 7)
⇒ 7n² - m² ≡ 0,6,3,5 (mod 7)
題目求最小值,故從最小的候選者依序考慮。
先試 k = 3,對應的 m ≡ ±2 (mod 7),故再試 m = 2,得 n = 1。 ^_^ ! (m = 5,n = 2 亦可)
所求最小值 = 3。
填充題 14. 設 a, b, c 為正實數,且 a + b + c = 1,求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?
解 1: 由冪平均不等式,有
√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2
√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2
√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2
三式相加並移項,得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )
110.1.30補充
我的教甄準備之路 a+b=1求極值, https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079
解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²,其餘類推,則與上法殊途同歸。
解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )
解 4: 數形結合
令向量 u = (a, b),v = (b, c), w = (c, a),則向量和 u + v + w = (1, 1)
所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )
(不用向量的話,亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)
註: 由上列若干方法知,題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)
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