回復 9# eyeready 的帖子
填充題 12
(一) 官方答案可用以下方式推得:
1. 原則上,一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側),共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段",共 6 條。
2. 但對於一直線上位於兩端的點,在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段",故應減去 2n。
3. 至此,每一條 "線段" 皆算了 2 次,故應再除以 2。
4. 綜上,所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = 3m - k - n
(二) eyeready 老師的方法,我認為也是正確的,基本上為:
1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異,則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。
2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合),則與 "交點皆相異" 比較,該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。
3. 綜上,所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) = n² - 2n - 3m + 3k
(三) 以上兩個答案會相等,因為:
1. 任二直線皆相交 1 次,故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。
2. 一個 "兩線交點" 代表相交 1 次,而一個 "三線交點" 代表相交 3 次,故有:
C(n, 2) = k + 3*(m - k)
⇒ n² - n = 6m - 4k ...(#)
把 (#) 式代入 (二) 的答案,即得 (一) 的答案。
因此,本題的答案可有無限多種。究其原因,是因為題目多給了非獨立的條件所致。
[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 ]