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106新北市高中聯招

回復 9# eyeready 的帖子

填充題 12

(一) 官方答案可用以下方式推得:

1. 原則上,一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側),共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段",共 6 條。

2. 但對於一直線上位於兩端的點,在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段",故應減去 2n。

3. 至此,每一條 "線段" 皆算了 2 次,故應再除以 2。

4. 綜上,所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = 3m - k - n


(二) eyeready 老師的方法,我認為也是正確的,基本上為:

1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異,則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。

2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合),則與 "交點皆相異" 比較,該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。

3. 綜上,所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) = n² - 2n - 3m + 3k


(三) 以上兩個答案會相等,因為:

1. 任二直線皆相交 1 次,故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。

2.  一個 "兩線交點" 代表相交 1 次,而一個 "三線交點" 代表相交 3 次,故有:

C(n, 2) = k + 3*(m - k)

n² - n = 6m - 4k ...(#)

把 (#) 式代入 (二) 的答案,即得 (一) 的答案。


因此,本題的答案可有無限多種。究其原因,是因為題目多給了非獨立的條件所致。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 ]

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填充題 5  

如果沒有 thepiano 老師 和 tuhunger 老師的功力,亦可直接用三角函數解:

1. 由對稱性,a + b + c = -1/2

2. 1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) /abc

2-1. 由積化和差, ab + bc + ca = a + b + c = -1/2

2-2. 由 cos (kπ /n) 的連乘公式 (從複數導出),abc = 1/8


故所求 = -9 /2

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計算證明題 1.

關於結論的預測:

令 π(x) 表示不大於正實數 x 的質數個數。如在該數列中,不存在 2017 個連續項都是合數,則當 x 趨近 ∞,π(x) /x 將恆大於某正數 k (例如:取 k = 1/20171),這個結果與 "質數定理" 矛盾。

(另,本題如果僅用以上推論作答,不知可否得分?)



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