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106新北市高中聯招

計算證明第 1 題

出這題應是向波蘭數學家 Wacław Sierpiński 致敬

此題出自他的大作 "250 Problems in Elementary Number Theory" 一書中的第 61 題

以下連結中有 PDF 檔
http://www.isinj.com/mt-usamo/25 ... pinski%20(1970).pdf

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計算第 2 題
P 點有以下 16 種情形
(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)
(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)
(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)
(8,1)、(8,2)、(8,3)、(8,4)

以 P(2,1) 為例,邊界上的 10 個點依順時針方向可取
(0,0)、(0,5)、(2.5,5)、(5,5)、(7.5,5)、(10,5)、(10,3.75)、(10,2.5)、(10,1.25)、(10,0)

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回復 7# son249 的帖子

填充第10題
1號球有3種丟法,2號到12號球各有2種丟法
所求\(=3\times {{2}^{11}}-6=6138\)種方法
扣掉的6種是單號都丟一箱,雙號都丟另一箱

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回復 6# son249 的帖子

填充第 9 題
兩焦點為 A(-2,0),A'(2,0)
PA + PB ≦ PA + PA' + A'B = 2a + A'B = 12 + 10 = 22
即 P 點是直線 A'B 和橢圓在第三象限的交點

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填充第 8 題
純幾何解

附件

20170515.jpg (49.99 KB)

2017-5-15 13:42

20170515.jpg

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回復 14# 米斯蘭達 的帖子

填充第3題
\(\begin{align}
  & {{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-28{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0 \\
& {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=0 \\
& x+\frac{1}{x}=t \\
& \left( {{t}^{3}}-3t \right)+\left( {{t}^{2}}-2 \right)+t-28=0 \\
& {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-30=0 \\
& t=3 \\
& x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)

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回復 14# 米斯蘭達 的帖子

填充第5題
以\(\displaystyle a=2\cos \frac{2\pi }{7},b=2\cos \frac{4\pi }{7},c=2\cos \frac{6\pi }{7}\)為三根之方程式為\({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0\)
參考https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid15215
\(\begin{align}
  & a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \\
& =a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc} \\
& =-\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2}{4}}{\frac{1}{8}} \\
& =-\frac{9}{2} \\
\end{align}\)

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回復 17# laylay 的帖子

以AB為邊,作正△DAB

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回復 20# laylay 的帖子

這樣改,純幾何就很難囉
其實您用的是角元塞瓦定理
\(\frac{\sin BAP}{\sin PAC}\times \frac{\sin ACP}{\sin PCB}\times \frac{\sin CBP}{\sin PBA}=1\)

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回復 33# oceanli 的帖子

扣掉 A、B、C、D 這 4 個點,還有 6 個點

先假設 AD 上有 0 個點,因底 AD = 5,高須為 2,面積才會是 5,故 P 在直線 x = 2 上
此時 △PBC = 20,故要分成 4 個三角形,在 BC 上取 3 個等分點

設 P(2,1),△PAB = 5
△PCD = 20,故要分成 4 個三角形,在 CD 上取 3 個等分點

其餘的 15 個點,同上

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