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已知圓內接\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{AC}=4\)。
若\(\angle A\)的平分線分別交\(BC\)弦與\(BC\)弧於\(D\)、\(E\)兩點，
則下列哪些選項是正確的？
(A)\(\angle AEB:\angle AEC=3:2\)
(B)\(\overline{AD}:\overline{DE}=3:2\)
(C)\(\overline{AD}\times \overline{AE}=24\)
(D)設\(P\)為\(BEC\)弧上的一個動點，則\(\overline{AP}\)長的最大值為\(\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}\)。
[解答]
令\(\overline{AD}=x\)，
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)
(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
\(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\)：\(sin \angle AEC= \)3：2 所以3：2是角度正弦比非角度比
(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\) 所以 \(\overline{AD} ： \overline{DE}= 3：1\)
(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)
(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形，外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\) sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)
