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106全國高中聯招

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回復 8# exin0955 的帖子

單選第4題
滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組?
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項?
(A)3 (B)2.7 (C)2.6 (D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)

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請教複選 2 與 4

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想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了

複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以

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複選2

迴歸線公式請見高中第二冊4-2

附件

2017-05-15 23.35.35.jpg (383.43 KB)

2017-5-15 23:37

2017-05-15 23.35.35.jpg

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回復 14# tuhunger 的帖子

謝謝tuhunger老師
這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到\(\displaystyle \frac{1}{2}=r x \frac{S_y}{S_x}\),\(a+b=14\), 然後就....

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請教填充2與3
謝謝

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回復 16# arend 的帖子

填充3
空間中,\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上,若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\),求\(D\)點坐標   
[解答]
\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)可設\(D(-1+t,-2t,-3+2t)\)
且\(\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=18 \Rightarrow t^2-6t+8=0 \Rightarrow t=4 or 2\)
\(t=2\)時\(\overline{AD}\)//\(\overline{BC}\)不合,故\(t=4\),\(D(3,-8,5)\)

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回復 16# arend 的帖子

填充第二題:
四邊形\(ABCD\),已知\(\angle A=120^{\circ}\),\(B\)和\(D\)都是直角,\(\overline{AB}=13\),\(\overline{AD}=46\),試求\(\overline{AC}=\)   
[解答]
觀察:

     因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\),

     所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解:

在 \(\triangle ABD\) 中,由餘弦定理,\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中,由正弦定理,\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

      \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)

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回復 13# Bra 的帖子

填充第5題
求值:\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)

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回復 16# arend 的帖子

填充2另解
四邊形\(ABCD\),已知\(\angle A=120^{\circ}\),\(B\)和\(D\)都是直角,\(\overline{AB}=13\),\(\overline{AD}=46\),試求\(\overline{AC}=\)   
[解答]
(現在流行寫兩解,每解只能得一半分數)
cos120=cc-ss,(cc+1/2)^2=(ss)^2=(1-c^2)(1-c^2)
c^2+c^2+cc=3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46=3/4*A C^2
得A C=62
這裡頭令人好奇的是AC為整數難道純屬巧合嗎?

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