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選擇第一題:

利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\),可得

\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=3\)

所以,\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\)

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填充第二題:

觀察:

     因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\),

     所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解:

在 \(\triangle ABD\) 中,由餘弦定理,\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中,由正弦定理,\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

      \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)

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