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106全國高中聯招

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計算第1題
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),則正整數\(m\)之值為何?
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足:\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
[提示]
利用
\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)

可得\(m=1681\)及證出下一小題

110.11.16補充
證明對於任意自然數\(n\),存在一個自然數\(k\)使得\((\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\)。
(92高中數學能力競賽 中彰區)

111.2.5補充
給定正整數\(a>b\),對任意正整數\(n\)皆存在正整數\(m\),使得\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)
試問:
(1)找出並證明符合此條件的所有數對\((a,b)\)
(2)數對\((a,b)\)的方程式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),在\(m\)是哪些正整數時,沒有正整數對解?
(109大理高中代理,https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html)

111.3.21補充
Prove that \((\sqrt{2}-1)^n \forall n\in Z^{+}\) can be represented as \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some \(m\in Z^{+}\).
(1994Canada National Olympiad,https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

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計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)

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回復 8# exin0955 的帖子

填充第1題
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\),求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
&  \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)

而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了,一般都用代數做,應該無法轉成幾何來做

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回復 8# exin0955 的帖子

單選第4題
滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組?
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項?
(A)3 (B)2.7 (C)2.6 (D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)

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回復 13# Bra 的帖子

填充第5題
求值:\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)

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回復 13# Bra 的帖子

填充第7題
設\(z\)為複數,若\(|\;z|\;=2\),則\(|\;z^2-2z+8|\;\)的最小值為   
[解答]
令\(z=2\left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)\)

\(\begin{align}
  & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\
& =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\
& =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)}{2} \right) \right| \\
& =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta  \right| \\
& =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta  \right)}^{2}}} \\
& =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\
& =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\
& \ge \sqrt{14} \\
\end{align}\)

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回復 26# 米斯蘭達 的帖子

選擇第 2 題
設\(\theta\)為一銳角滿足\(\displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81\),則\(\tan\theta=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) (C)1 (D)\(\sqrt{2}\)。
[提示]
跟今年彰女這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=3#pid17207

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回復 34# rotch 的帖子

重點是要證m是正整數

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回復 45# nanpolend 的帖子

單選第 5 題
在坐標平面上,\(A\)點坐標為\((-1,0)\),\(B\)點坐標為\((1,0)\),點\(P\)是直線\(x+y=4\)上的一個動點,則向量\(\vec{AP}+\vec{BP}\)長度的最小值為下列哪一個選項?
(A)4 (B)\(4\sqrt{2}\) (C)\(4\sqrt{3}\) (D)\(4\sqrt{5}\)
[解答]
P(t,4 - t),A(-1,0),B(1,0)
向量 AP = (t + 1,4 - t),向量 BP = (t - 1,4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t,8 - 2t)
剩下就簡單了

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回復 47# nanpolend 的帖子

單選第6題
考慮滿足以下條件的正整數數對\((x,y)\):(i)\(106\le x \le 2017\);(ii)\(106\le y \le 2017\);(iii)\(8x-5y=37\)。請問\((x,y)\)共有幾組解?
(A)232 (B)233 (C)234 (D)235
[解答]
\(\begin{align}
  & 8x-5y=37 \\
& y=\frac{8x-37}{5} \\
& x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
&  \\
& 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\
& 106\le x\le 2017 \\
& 106\le x\le 1265 \\
& x=109,114,119,\cdots ,1264 \\
\end{align}\)

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