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106彰化女中

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填充A1.

設xyz=k,令f(t)=t^3-3t^2-9t-k,則f(t)=0 三根為x,y,z , f`(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)
由函數圖形(請自己畫)知
    當x有最大值時-1為f(t)=0的重根=>f(t)=(t+1)^2*(t-5)=>x有最大值=5(此時y=z=-1)
    當x有最小值時 3為f(t)=0的重根=>f(t)=(t-3)^2*(t+3)=>x有最小值=-3(此時y=z=3)


另解:
y+z=3-x
x(y+z)+yz=-9 => yz=-9-x(3-x)=x^2-3x-9
(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(3-x)^2-4(x^2-3x-9)=-3(x+3)(x-5)>=0 => -3<=x<=5  (等號成立時y=z=(3-x)/2)

最近一題兩解有出現,每解只能得一半喔 !

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-9 14:22 編輯 ]

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填充B6.

令g(x)=f(x+2015)=ax^2+bx+c
則原式=>  1<=g(-2)= 4a-2b+c <=5.....(1)
3<=g(-1)= a-b+c <=13.....(2)            2<=g(0)=  c  <=8.....(3)
設目標=g(2)=4a+2b+c=p(4a-2b+c)+q(a-b+c)+r(c)
比較係數得 p=3,q=-8,r=6
故最大值=5p+3q+8r=39

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-8 21:40 編輯 ]

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填充A7.

建立坐標系 B(-4,0),D(-2,0),C(0,0),E(-3,0)射線CA:x-y=0,y>=0
作過B,D的圓其半徑R,圓心Q(-3,k),k>0 使圓交射線CA於A,則由正弦定理知 2/sinBAD=2R,欲使角BAD最大則R要最小=>圓與射線CA:x-y=0 相切
=> d(Q,射線CA:x-y=0)^2 =R^2=>(k+3)^2/2=k^2+1
=>k^2+6k+9=2k^2+2 => (k-7)(k+1)=0 =>k=7
tanBAD=tanBQE=1/k=1/7

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-9 13:19 編輯 ]

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回復 16# tommy10127 的帖子

x^2<=1-y^2 , z^2<=1-y^2   給定y 則x,z圍出4(1-y^2)的面積,y由-1積分到1得體積=4(y-y^3/3)[-1..1]=4[(1-1/3)-(-1-(-1)/3)]=16/3
若再加上x^2+z^2<=1的條件
則體積變成(根號2)^3+6*4(y-y^3/3)[1/根號2..1]=16-8根號2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-10 21:22 編輯 ]

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填充B2.

(x^4+8x^3-2x^2+kx-5)'=4x^3+24x^2-4x+k=0
它的三根即為-6,-1,1=> k=-24

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填充A4.

L必過反曲點(0,-5)設L:y=mx-5代入f得x^2=2-m
B C^2=x^2*(1+m^2)得20=(2-m)(1+m^2)得m=-2
L:y=-2x-5

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回復 24# anyway13 的帖子

16(-6)s^(-7)*c+81(-6)c^(-7)*(-s)=0
16c^8-81s^8=0 =>t^2=2/3

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-10 02:41 編輯 ]

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回復 41# Christina 的帖子

-根號(1-y^2)<=x,z<=根號(1-y^2),
x,z圍出的圖形是邊長  2根號(1-y^2)的正方形

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-17 07:19 編輯 ]

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回復 43# Christina 的帖子

正中央是正立方體,另六面外的物體一定是一模一樣的與原題目的那部分是一樣
當x^2,y^2,z^2<=1/2時,必定滿足三個式子,故有上述之正立方體
而在y^2>=1/2時原題的x^2,z^2<=1/2必定滿足新增加的第三個式子,故那個部分維持不變
再者x,y,z大家條件相當,故那六個部分一模一樣。
再增加第三個條件的限制,後來的體積當然要比原本的更小。
現在再增加x^2+y^2+z^2<=5/4,則體積又將縮小到多少呢?
此時x^2=y^2=z^2=1/2的八個點不見了喔!

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-19 09:41 編輯 ]

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