12. 一個與 thepiano 老師雷同的作法。

原題即: a, b, c 為非負實數，a + b + c = 1，求 a²b + b²c + c²a 的最大值。

解: 不妨設 a ≥ b，a ≥ c。因 a²b + b²c + c²a - (ab² + bc² + ca²) = (a-b)(a-c)(b-c)，可進一步設 a ≥ b ≥ c，則 ab ≥ ac ≥ bc。

由排序不等式:  a²b + b²c + c²a ≤  a²b + abc + bc² = b (a² + ac + c²) = b [ (a+c)² - ac ]

當 b 為定值時 (則 a+c 亦然)，右式在 c = 0 時有最大值，且可取得等號。

故原題化為: 非負實數 a + b = 1，求 a²b 的最大值。則由 AM ≥ GM 得最大值 = 4/27。

6. 另解: 4個面皆全等的四面體，可視為在一長方體上取 4 個不共稜的頂點所連接而成 (或說是由一長方體"切"下來的)

令此長方體邊長為 a，a，b，則 a² + a² = 36，a² + b² = 81

⇒ a = √18，b = 3√7

所求 = (1/3)*a²b = 18√7



14. 另解: 考慮橢圓與以其長軸為直徑的圓之關係

令 OP 與 x 軸正向夾角 = θ，tan θ = t

題目所求為角度 α+β 最大時的情形，其中 tan α = t*(2/√3)，tan β = (1/t)*(2/√3)

利用 tan (α+β) = (-2√3)*(t + 1/t) 與 AM-GM 知，此時 t = 1，即 θ = 45°

在 (x²/4) + (y²/3) = 1 上，令 P (x₀，x₀)，所求 = x₀² = 12/7