參考附件

填充第3題
\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)

\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right)=1\)，恆成立

\(\begin{align}
  & \left( 2 \right)r>1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& 0\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{r-1}{3} \\
& 1\le f\left( x \right)\le \frac{r+2}{3} \\
& 1+1>\frac{r+2}{3} \\
& 1<r<4 \\
&  \\
& \left( 3 \right)r<1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& \frac{r-1}{3}\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le 0 \\
& \frac{r+2}{3}\le f\left( x \right)\le 1 \\
& \frac{r+2}{3}>0 \\
& \frac{r+2}{3}+\frac{r+2}{3}>1 \\
& -\frac{1}{2}<r<1 \\
\end{align}\)

綜合以上，\(-\frac{1}{2}<r<4\)

填充第 6 題
在 △ADC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta  \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\
& \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\
\end{align}\)

在 △BDC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\
& \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\
& \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta  \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\
& \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\
& \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\
\end{align}\)

計算證明第 5 題
(1) 若 AB = AD，則 CD = BC，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(2) 若 AB = BC，則 CD = AD，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(3) 若 (1) 和 (2) 均不成立
不失一般性，設 AB ＞ AD，則 BC ＞ CD
在 AB 上取 AE = AD，在 BC 上取 CF = CD
則 △ADE、△BEF、△CDF 均為等腰三角形
設 O 為 △DEF 之外心，由全等，易知 O 到 AB、BC、CD、AD 之距離均相等
即 ABCD 有內切圓圓 O

最後用 O 到 AB、BC 之距離相等

r=4時，取a=b=0，c=1，f(a)=f(b)=1，f(c)=2，無法構成三角形