發新話題
打印

106中大壢中

計算題 3  設 x, y, z 為整數且 x + y + z = 3,x³ + y³ + z³ = 3,但 x ≠ 1,y ≠ 1,z ≠ 1,求 x² + y² + z²。


想法: 利用單一變數的整除性

解: 由 y + z = 3 - x 與 y³ + z³ = 3 - x³

⇒ (x - 3) | (x³ - 3),又 (x - 3) | (x³ - 27)

⇒ (x - 3) | 24

以下為了簡化討論,考慮: ∵ 立方數 ≡ -1, 0, 1 (mod 9),∴ x, y, z ≡ 1 (mod 3)

⇒ (x - 3) | 8  ( y, z 亦同; 或者先討論 x )

⇒ { x, y, z } ∈ { 7, 4, -5 }

⇒ (x, y, z) = (4, 4, -5) (次序不拘)

⇒ x² + y² + z² = 57

TOP

回復 32# d3054487667 的帖子

把整數依 "模3" 分類,易知: 立方數 ≡ -1, 0, 1 (mod 9)

又  x³ + y³ + z³ ≡ 3 (mod 9) ⇒  x³ ≡ 1 (mod 9) ⇒  x ≡ 1 (mod 3)

y, z 亦同

TOP

發新話題