4. \( C_{1}^{5}H^{4}_{2}H^{1}_{6}+C^{5}_{2}H^{3}_{3}H^{2}_{6}+C^{5}_{3}H^{2}_{4}H^{3}_{6}+C^{5}_{4}H^{1}_{5}H^{4}_{6}=2570 \)
8.(1) 設 \(f(x)=n^{2}x^{3}+nx-1\)
因 \( f(x) \) 為三次實係數多項式,所以 \( f(x) \) 至少有一實根
又因 \( f'(x)=3n^{2}x^{2}+n>0,f(x) \) 為嚴格遞增函數,所以 \( f(x) \) 恰有一實根
8.(2) \(\displaystyle f(0)=-1<0,f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}>0\),所以 \( \displaystyle 0<x_{n}< \frac{1}{n}\) (勘根定理),因此 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=0 \)
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