引用:

原帖由 laylay 於 2017-4-10 21:50 發表
所求=7^99除以100之餘數(利用 a^100-b^100=(a-b)(aQ+b^99) , 其中a=10^100,b=7)
又 7^4=(50-1)(50-1)=100k+1
故所求=7^3除以100之餘數=43

　
我這題做出來剛好跟你相反，57
　
設\(r=100^{100}\)，
原式= \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]\)，

設 \(r^{100}\)除以\(r+7\)的商式為\(N\)，則餘式為\((-7)^{100}=7^{100}\)

所以 \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]=\left[\frac{7^{100}}{r+7}+N\right]=N\)
　
再設 \(N=100H+k\) ， \(H\)是正整數，\(k\)為小於10的非負整數，即是所求
　
由\(r^{100}=(r+7)\cdot N+7^{100}=(r+7)(100H+k)+7^{100}=100Hr+kr+700H+7k+7^{100}\)

\(r^{100}\)與\(100Hr+kr+700H\)皆是100的倍數，所以\(7k+7^{100}\)亦是100的倍數
　
\(7k+7^{100}=7k+(2401)^{25}\equiv 7k+1 (mod\,10)\)

所以\(7k\)有 99,199,299,399,499,599,699可以選
只有399是7的倍數
所以\(k=57\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2017-4-10 22:53 編輯 ]

第九題是騙人的....我應該沒有理解錯題目

證明當\(N\)是自然數時，\(x^2+y^2=z^n\)，\(x,y,z\)至少有一組整數解。
　
令\(z=25\)，\(25^n=25\cdot25^{n-1}=(3^2+4^2)\cdot5^{2(n-1)}=(3\cdot5^{n-1})^2+(4\cdot5^{n-1})^2\)