設AB中點為S,設AC中點為M,設AO中點為N
則SA=SM=SN=以AB為直徑之球體的半徑 r,S為球心
所以AMN的外接圓為球體與平面ACO的交圓,P要在球體內部又要在ACO內部,就是那綠色區域了

沒錯,
於三角形ABC中,在BC 線段上取一點D使BD;DC=r:q,在CA 線段上取一點E使CE:EA=p:r
在AB 線段上取一點F使AF:FB=q:p ,(q/p)*(r/q)*(p/r)=1, 由西瓦逆定理知AD,BE,CF三線段交於一點K,
由孟氏定理得AK:KD=(r+q):p => K=pA+(r+q)D, 而D=(qB+rc)/(r+q) =>K=pA+qB+rC,故K=(x,y)掃出來的區域即為三角形ABC

同時喜歡國文和英文的最少有 30 + 35 - 50 = 15 人,設喜歡國文和英文的有(15+x) 人,x>=0
則喜歡國文不喜歡英文的有(15-x)人,喜歡英文不喜歡國文的有(20-x)人,不喜歡國文也不喜歡英文的有x人
為使喜歡三科人數最少(15-x)+(20-x)+x=35-x,這些人全部讓他們喜歡數學,此時可得三科都喜歡的人數至少是(5+x)人
又x>=0,取x=0可得三科都喜歡的人數至少是5人