第1題
定坐標
\(D\left( 0,0 \right),A\left( 0,2 \right),C\left( 2,0 \right),B\left( -2,0 \right),G\left( a,b \right)\)

利用旋轉及伸縮變換，可得\(E\left( -b,a \right),F\left( a-b,a+b \right)\)

\(F\)在\(:x+y=2\)上，可得\(a=1\)

\(E\left( -b,1 \right),G\left( 1,b \right)\)

利用\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，可得\(b=-1+\sqrt{2}\)

\(DEFG={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-2\sqrt{2}\)

第2題
向量\(OP\)\(=t+\left( k-t \right)=t\left( 2,1 \right)+\left( k-t \right)\left( 4,-\frac{1}{2}
\right)=\left( -2t+4k,\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}k \right)\)

\(P\)點所形成的直線為\(3x+4y-10k=0\)

此直線與圓\({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1\)相切時，\(k\)有最小值2