第三題
\( \overline{\overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1} =Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1} \)
令 \( a = \overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1, b= Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1} \)
則 \( a, b \)為共軛複數，因此所求 = \( Re(a) = \frac{1}{2} Re(a+b)\)。
又\( Z_1, Z_2, Z_3 \) 所組成三角形以原點為重心，因此 \( Z_1+ Z_2 + Z_3 =0 = \overline{Z_1} + \overline{Z_2} + \overline{Z_3}\)
因為
\( 0=(Z_1+ Z_2 + Z_3 )(\overline{Z_1} + \overline{Z_2} + \overline{Z_3})= \overline{Z_1} Z_1 + \overline{Z_2} Z_2 + \overline{Z_3} Z_3 + \overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1 + Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1} = |Z_1|^2 +|Z_2|^2 + |Z_3|^2 + a + b \)
所以 \( 0= 4+5+9+a+b \Rightarrow a+b =-18 \Rightarrow Re(a)=-9 \)
