計算第4題
設\(n\)天後共吃了\({{S}_{n}}\)個蘋果
\(\begin{align}
  & 1\le {{S}_{1}}<{{S}_{2}}<\cdots <{{S}_{49}}\le 11\times 7=77 \\
& 20<{{S}_{1}}+20<{{S}_{2}}+20<\cdots <{{S}_{49}}+20\le 97 \\
& {{S}_{1}},{{S}_{2}},\cdots ,{{S}_{49}},{{S}_{1}}+20,{{S}_{2}}+20,\cdots ,{{S}_{49}}+20 \\
\end{align}\)
這98個數中，最小是1，最大是97，由鴿籠原理，必有二數相等
由於\({{S}_{1}},{{S}_{2}},\cdots ,{{S}_{49}}\)相異；\({{S}_{1}}+20,{{S}_{2}}+20,\cdots ,{{S}_{49}}+20\)也相異
故存在\(1\le a<b\le 49\)，使得\({{S}_{b}}={{S}_{a}}+20\)

計算第4題
這樣證應該比較簡單
設\(n\)天後共吃了\({{S}_{n}}\)個蘋果
\(1\le {{S}_{1}}<{{S}_{2}}<\cdots <{{S}_{21}}\le 11\times 3=33\)
由於正整數除以20後的餘數只有20種情形
由鴿籠原理，\({{S}_{1}},{{S}_{2}},\cdots ,{{S}_{21}}\)這21個數中，必至少有二數除以20的餘數相等
故存在\(1\le a<b\le 21\)，使得\({{S}_{b}}-{{S}_{a}}=20\)

第 1、10 題答案有問題

填充第 4 題
題目沒有說清楚
(1) 允不允許有空層？
(2) 每層的書要不要排列？

引用:

原帖由 gamaisme 於 2016-7-12 01:10 PM 發表
小弟算
第一題是5267
第十題是根號6+2-根號3根號2

第一題 5467
第十題 \(2+\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

計算第3題
應是證明\({{\left( \overline{BD}\times \overline{AC} \right)}^{2}}={{\left( \overline{AD}\times \overline{BC} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{CD}\times \overline{AB} \right)}^{2}}\)

可用Stewart定理