2. 從1, 2, 3, ...,15, 16 等16 個數中任挑五個，其中兩數連續，其餘皆不連續的方法有幾種？


想法: 先放置 (把 2, 1, 1, 1 個數，插入其餘 11 個數形成的間隔)，再編號

解:  C(4,1) * C(12, 4) = 1980

4. 以高二學生能理解的程度，用幾何圖形說明：

(b) 當 0° < θ < 90° 時，a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)。

(假定官方題目有 a, b > 0; 若否，另行討論即可)





如上圖，對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角)，作 CD 與 CA 夾角 θ，D, E 分別為 A, B 在 CD 上的投影點。

由 BE + AD ≤ AB

⇒ a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)

3.

方法 1





如上圖，α+β 的 "等值線" 平行 AB 直線。當過 C 的切線平行 AB  (且C, O 位於 AB 直線異側)，α+β 取最大值。

由 OC = 2*OD，知 α+β 之最大值 = 2。


方法 2

( 為了製造 "α+β" ) 考慮向量內積 OC．(OA + OB) = (α+β) /2

因 |OC|， |OA + OB| 皆定值，故 OC 與 (OA + OB) 夾角 0° 時，α+β 取最大值 = 2*1*1 = 2。


方法 3

利用 "內積" 或 "距離"，知 α² + β² - αβ - 1 = 0，現欲求 α+β = t 的最大值。

由 α 之二次方程式 α² + (t - α)² - α(t - α) - 1 = 0 的判別式 ≥ 0，或由 α² + β² - αβ - 1 = 0 是個短軸與 α 軸夾 45°之橢圓 (則 α = β 時，α+β 取最大值)，皆得 α+β 之最大值 = 2。





[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-23 09:18 PM 編輯 ]

4. 以高二學生能理解的程度，用幾何圖形說明：

(b) 當 0° < θ < 90° 時，a*cosθ + b*sinθ ≤ √(a² + b²)。

(假定官方題目有 a, b > 0; 若否，另行討論即可)


由 Ellipse 老師提示的 "面積"，構思一個方法。

依據: 四邊形 (無論凹凸) PQRS 面積 = (1/2)*PR*QS*sinφ，這裡 φ 是對角線(或其延長線)之間的一個夾角。


如上圖，對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角)，作 CD 與 CA 夾角 θ，而與 AB 夾角 φ，CD = d。

四邊形 ACBD 面積 * (2/d) = a*cosθ + b*sinθ = [√(a² + b²)]*sinφ ≤ √(a² + b²)

對於第 5 題的感想:

因為題目對於某些 "前提" 的敘述上有不夠明確之處，以至於可能因題意解讀不同，而對答案產生歧見 (這在 "機率題" 時有所見)。本題因為要求計算機率 (而非只是問 "何種選擇較有利")，所以更需要把一些 "前提" 交代清楚。

Monty Hall 問題有個重要的前提 (尤其是要計算機率時，它更是必要的): 主持人 (或本題中的公主) 知道每個門的結果。如果沒有表明此點，尚可以討論 "何種選擇較有利"，但 "計算機率" 則會有疑義。

我猜想，本題的答案卷大致有三種答案:

1. 1/2 -- 答題者認為題目的敘述: "異教徒首先選了一號門，而此時公主覺得異教徒可憐，..."，暗示了一號門後也是獅子。

2. 1/3 -- 答題者認為 "公主只知道四號門後面有獅子"。

3. 3/8 -- 答題者認為 "公主知道每個門後面是什麼，但只能暗示一個有獅子的門"; 或者答題者熟悉 Monty Hall 問題，並依此揣摩命題者心思。


個人愚見是，本題因為沒有闡明 "公主是否知道所有門的情形" 並要求計算機率，是個有疑義的題目。