計算證明題 2.

除了 thepiano 老師提出的速解，也可以用另一個角度考察。

當 r = 0 或 1，原式成立。

當 0 < r ≠ 1，因 f (n) = rⁿ 凹口向上，由 Jensen 不等式，或用梯形法比較面積，或用比較諸函數值的算數平均，皆可得證。

依此，本題可推廣為:

r ≥ 0，n ∈N，則 (1 + r+...+ rⁿ) / (n+1) ≤ (1 + rⁿ) / 2



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-3 01:02 PM 編輯 ]

填充題 4. 以四種顏色塗 4x2 之 8 格方格 (不考慮旋轉)，每種顏色皆塗兩格，每格方格只塗一種顏色，同色不相鄰，則有幾種塗色方法?


想法: 適當的分類，可望化繁為簡。以下依中央四格共塗 2，3，4 色來分類。

下文說明: 藍字: 中央四格選色的方法數;  紅字: 承上選色後，中央四格塗色的方法數;  綠字: 再承上，周邊四格塗色的方法數。


分類 1: 中央四格共塗 2 色



C(4,2)*2*2*2


分類 2: 中央四格共塗 3 色



C(4,3)*C(3,1)*2*2*5


分類 3: 中央四格共塗 4 色



4!*9   (這個 "9" 就是 4 個元素的"錯列數" -- 4個顏色皆有一個(不同的)位置不能塗)


以上三者相加，得 504 種方法。