4.
若\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且\( 3 \vec{PA}+4 \vec{PB}+5 \vec{PC}=k \vec{AB} \)，試求\(k\)的範圍。

請參考

第1題
如下圖，大圓的半徑為5，小圓的半徑為2，\(A\)在大圓的圓周上且為小圓的圓心，\( \overline{BC} \)為大圓的弦且與小圓相切。若\( \overline{AB}=8 \)，則\( \overline{AC}= \)？

105陽明高中第1題.jpg (16.63 KB)

2016-10-29 10:54

[提示]
\( \displaystyle \frac{\overline{AC}}{\sin B}=2R\)


第8題
已知長方體\(ABCD-EFGH\)如下圖所示，其中\(\overline{AB}=\overline{BF}=\sqrt{3}\)且\( \overline{AD}=1 \)。已知\( \overline{FH} \)上有一點\(P\)，求\( \overline{BP}+\overline{PG} \)的最小值。

105陽明高中第8題.jpg (28.15 KB)

2016-10-29 10:59

[解答]
定坐標\(F\left( 0,0,0 \right),H\left( 1,\sqrt{3},0 \right),B\left( 0,0,\sqrt{3} \right),G\left( 1,0,0 \right),P\left( t,\sqrt{3}t,0 \right)\)

\(\begin{align}
  & \overline{BP}+\overline{PG} \\
& =\sqrt{{{t}^{2}}+3{{t}^{2}}+3}+\sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+3{{t}^{2}}} \\
& =\sqrt{4{{t}^{2}}+3}+\sqrt{4{{t}^{2}}-2t+1} \\
& =\sqrt{{{\left( t+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}t \right)}^{2}}} \\
\end{align}\)

視為\(y=\sqrt{3}x\)上一點\(\left( t,\sqrt{3}t \right)\)到\(\left( -\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)和\(\left( 1,0 \right)\)的距離和之最小值

小圓半徑長除以\( \overline{AB} \)

計算 2
(2)已知一拋物線\( y=-x^2+4 \)及一直線\( y-1=m(x-1) \)，求兩者所圍的面積最小時\(m\)之值。
[提示]
跟 103 台中女中這題差不多，這題是過\( (1,1)\)
參考 ellipse 老師的做法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3290

不能把不等式和函數湊在一起，即使只有原函數乘以x，也會得到錯誤的結論
其實要證明原函數在（0，1］遞減很簡單，您再想想

填充第5題
\(\begin{align}
  & \frac{\left( x \right)}{\left\{ x \right\}}=\frac{x}{\left( x \right)} \\
& \frac{\left( x \right)}{\left\{ x \right\}}=\frac{\left( x \right)+\left\{ x \right\}}{\left( x \right)} \\
& {{\left\{ x \right\}}^{2}}+\left( x \right)\left\{ x \right\}-{{\left( x \right)}^{2}}=0 \\
& \left\{ x \right\}=\frac{-\left( x \right)\pm \sqrt{5{{\left( x \right)}^{2}}}}{2} \\
& 0<\left\{ x \right\}<1 \\
& \left( x \right)=1 \\
& \left\{ x \right\}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
& x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)