計算證明題 4 . 比較 sin 5° + sin 10° + sin 15° 與 1/2 的大小，並說明理由。


解法 1 :




如上圖，把圓心角 30°的扇形 AOD 依 5°，10°，15° 劃分。

由 五邊形ABCDO 面積 > 三角形ADO 面積

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > 1/2



解法 2 :  (推理的過程與列式相反)

cos 5° >  cos 20°

⇒ 2 sin 10° cos 5° > 2 cos 20° sin 10°

⇒ sin 5° + sin 15° > sin 30° - sin 10°

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > sin 30°

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > 1/2



解法 3 :  (可與解法 1 互相參照)

對於 0 < α, β < 180°，有:

sin α + sin β > sin α cos β + sin β cos α = sin (α + β)

利用上式:

sin 5° + sin 10° + sin 15° >  sin (5°+10°+15°) = 1/2

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計算證明題 1. (2) 0 < x ≤ 1，求 f(x) = x + (2/x) 的最小值。


如果推測最值發生在邊界，不妨直接用邊界來湊:

(x -1)*[(2/x) - 1] ≤ 0

⇒ 2 - f(x) + 1 ≤ 0

⇒ f(x) ≥ 3

當 x = 1 時取等號。

又，作 xy = 2 的圖形並考慮目標函數 f(x,y) = x+y 大概是最簡明的。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-12-13 11:58 PM 編輯 ]