第四題
\( 3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=k(\vec{PB}-\vec{PA}) \)
移項得
\( (3+k)\vec{PA}+(4-k)\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0} \)
因為在內部所以
\(3+k>0\)且\(4-k<0 \)所以\(-3<k<4\)

對於每個圓上的\(C\)點 要求最小周長必須先對\(x\)軸找對稱點\(C'\)(令投影點\(D'\))

及對\(y=\sqrt{3}x \)找對稱點\(C"\)(令投影點\(D"\))

如此最小周長恰好等於\(\overline{C'C"}\)長 也等於2倍\(\overline{D'D"}\)之長



所以可以知道對於每個圓上的\(C\)點 其最小周長為其與此二直線投影點之距的2倍

故兩投影點之距(\(\overline{D'D"}\))最小時  將有最小的周長


最後利用\(OD'CD"\)四點共圓  且\(OC\)為直徑及正弦定理可以知道

\(\overline{D'D"}=\overline{OC}*sin60^{\circ}\)  所以\(\overline{OC}\)越小可得最小三角周長

可算出\(11 \sqrt{3}\)