105鳳山高中

第11題
找出所有滿足下列條件的函數\(f\)：對於不為0或1的任意實數，都有\(\displaystyle f(x)+f(1-\frac{1}{x})=x+1+\frac{1}{x-1}\)。答：　　　
[解答]
我的解法有點複雜，可能請其他老師幫忙補充
令 t=\(1-\displaystyle\frac{1}{x}\)
帶入題目
\(f(x)+f\left(\displaystyle1-\frac{1}{x}\right)=x+1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\)....(1)
經過整理後，得到
\(f(x)+f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{1-x}\)....(2)
將(1)+(2)得到
\(2f(x)+f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)+f\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=x+\displaystyle\frac{1}{x}+1\)
其中
\(f\left(\displaystyle\frac{1}{1-x}\right)+f\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=-x-\displaystyle\frac{1}{x}+2\)

打完才發現鋼琴老師已經寫完了
鋼琴老師的方法比較簡潔有力