發新話題
打印

105中科實中試題與解答(官方版本)

填充題 13. 設 A袋有2個十元硬幣,B袋有3個五元硬幣,從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換,進行3次後,求A袋中錢幣金額的期望值為?


原理: 一袋中有 n 個硬幣,共 m 元,隨機取走 1 個硬幣,則取走的硬幣金額期望值 = m/n 元,剩餘的硬幣金額期望值 = m - (m/n) 元。


本題 A 袋 與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。依上述,當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時,進行一次互換後,金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

依據期望值的定義,用"列舉"的方法思考,可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。


以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變): (a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

上述過程,亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。


(當互換次數趨近無限大,A袋金額期望值 = (20 +15)*(2/5) = 14 元。)

-------------------------------------

若本題題目改為: "先從A袋任取一個錢幣至B袋,再由B袋任取一個錢幣至A袋",則遞推關係為 [a , b] → [ (5a/8) + (b/4) , (3a/8) + (3b/4) ]



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-11 01:32 PM 編輯 ]

TOP

發新話題