填充 5.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(\overline{AB}=4,\overline{BC}=5,\overline{CA}=6\)，三高為\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)，試求三面積比\(\Delta AEF:\Delta BDF:\Delta CDE=\)　　　。
[解答]
三高 → 直角

故有 \( \overline{AF} = \overline{AC} \cos A \), \( \overline{AE} = \overline{AB} \cos A \)

再利用兩邊一夾角計算面積得 \( \triangle AEF = \triangle ABC \cos^2 A\)

同理可得另兩三角形之面積為 \( \triangle \) 的 \( \cos^2 B, \cos^2C\) 倍

再以餘弦定理計算三角的餘弦值，即可得面積比

填充 6.
已知兩方程式\(x^2-2x+2=0\)與\(x^2+2mx+1=0\)的四個不同根在複數平面上對應的點共圓，則實數\(m\)的範圍為　　　。
[解答]
\( x^2 -2x +2 =0 \) 之兩根為 \( 1 \pm i \)。

令方程式 \( x^2+2mx+1 = 0 \) 之兩根為 \( \alpha, \beta \)，及四點 \( A(\alpha), B(\beta), C(1+i), D(1-i) \)

因 \( m \) 為實數，故 \( \alpha, \beta \) 可為兩實根或兩共軛虛根

若為兩實根，則 \( \overline{AB} \), \( \overline{CD} \) 的中垂線分別為 \( x= -m \), \( y=0 \) 其交點為 \( -m,0 \)，此點即圓心

由圓心到四點等距可得 \( m = -\frac32 \)

若為兩共軛虛根之情形，只要 \( ABCD \) 四點不共線，則四點可形成一等腰等形(或矩形)必共圓

故得 \( -1< m < 1 \) 時，四點共圓

綜合以上，滿足四點共圓的 m 範圍為 \( -1<m<1 \) 或 \( m = -\frac32 \)

填充4.
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點為\(F(4,0)\)，點\(P\)為橢圓上一動點，若以\(\overline{PF}\)為一邊作正方形\(FPQR\)(\(FPQR\)按逆時針方向排列)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(R\)點的軌跡方程式為　　　。
[解答]
簡言之，就是以 (4,0) 為中心將橢圓逆時針轉 90 度
故長短軸長交換，新的中心為 (4,-4)