已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。

(亂入一下)  計算題 2.如果出在"非計算題"，則我會用以下"投機"的解法。至於是否說得通，請各位老師指導。

想法: 題意即求 n → ∞ 時，"相鄰兩向量內積的平均"。由於 n → ∞ 時，向量內積 APk．APK₊₁ → APk² (或 APk₊₁²)，故所求 = "各 APi ² 的平均"。

由對稱性，可以只考慮一半圖形，如下圖:

由畢氏定理，所求諸 APi ² 的平均

= (√3/2)² + lim (1/2)² * [ (1/n)² + (2/n)² + ... + [(n/n)² ] * (1/n)

= 3/4 + lim (1/4)*n(n+1)(2n+1) / 6n³

= 3/4 + 1/12

= 5/6


反思: 若懷疑此答案非所求，例如: 所求應 = t*(5/6)，0 < t < 1; 則論證如下:

如上圖，必存在一足夠大的 m，使當 n > m 時，皆有 APk．APK₊₁ / APk₊₁² > t，矛盾。

或者，亦可用 "夾擠定理" 來體會並論證。





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關於 n⁵ ≡ n  (mod 10)

亦可:

n⁵ - n = n (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1) =  (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1)  必為 10 的倍數

或者:

n⁵ ≡ n  (mod 2)  (易證)

n⁵ ≡ n  (mod 5)  (費馬小定理)

故 n⁵ ≡ n  (mod 10)


引申: 當 n 是奇質數，m ∈ N，則 mⁿ ≡ m  (mod 2n)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:00 PM 編輯 ]

選擇題 8. 已知直線 2x + 3y = k 在第一象限內恰有 122 個格子點，則 k 的可能值有幾個 ?

(代數觀點) :

2x + 3y = k 整數解為 ( a + 3t , b - 2t )，這裡 (a, b) 是一組整數解，t ∈ Z

令 (a , b) 為正整數解中，x 值最小者 ⇔ 0 < a ≤ 3

恰有 122 組正整數解 ⇔ 2*121 < b ≤ 2*122

一組 ( a, b ) 對應一個 k ⇒ k 有 3*2 = 6 個可能值

是以，如同老王老師所述，本題滿足第一象限內恰有 c (>0 的常數) 個格子點的 k，皆有 6 個可能值。


引申: p, q, k ∈ N，已知直線 px + qy = k 在第一象限內恰有 c (>0 的常數) 個格子點，則 k 的可能值有 pq /d² 個，在此 d = (p, q)。

如欲用老王老師的妙解 (見28樓的連結)，方形的長寬分別取 q/d，p/d (而非 q，p)。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:42 PM 編輯 ]

感謝 tuhunger 老師提供解法!

個人心得:

單選5.
擲一個公正骰子三次，所擲出的點數依序為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則使得多項式\(\displaystyle f(x)=a\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+b\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+c\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\)為二次函數的機率為？
(A)\(\displaystyle \frac{8}{9}\)　(B)\(\displaystyle \frac{11}{12}\)　(C)\(\displaystyle \frac{23}{24}\)　(D)\(\displaystyle \frac{67}{72}\)
f(x) 非二次函數 ⇔ a, b, c 依序呈等差 ⇒ 共 2*3*3 種情形 ( 2: a, c 同奇或同偶，3: a 的選擇，3: c 的選擇)，其機率 = 1/12。

所求 = 11/12 ⇒ 選 (B)


單選題 6.
有\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五個觀光站，今規劃5天的觀光路線，每一天只觀光一站，且隔天必到另一站觀光，而每一站觀光次數不限。求第一天在\(A\)站，第5天在\(C\)站的觀光路線安排，共有幾種方法？(A)50　(B)51　(C)52　(D)53
投機猜法: 因 A, C 無法佔滿 5 天，故答案必是 3 的倍數 (B, D, E 地位平等) ⇒ 選 (B)

另解: 題意等同於 "環狀塗色，相鄰異色" 之方法數問題，只是固定了 2 個相鄰區域。若記得該問題之解，可逕用:

( 4⁵ - 4 ) / 5*4 = 51  ⇒ 選 (B)