填充 8. 嘗試由 "觀察圖形" 來推測答案。
平面上有兩圓\(C_1\):\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \),\( C_2 \):\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \),自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \),令\( O \)為原點,\(∠POQ=\theta\),求\( \theta \)的範圍。
題意可轉化為: 60° < ∠POR < 90°,0° < ∠QOR < 90°,cos∠POR / cos∠QOR = 1/2,求 θ = ∠POR - ∠QOR 的範圍。
上圖左,為二個以原點為圓心,半徑分別為 kr (0<k<1) 與 r 的四分之一圓。考慮在兩個圓周上,x 坐標相等之兩點的 y 坐標差 (即綠色線段長)。易知隨 x 值遞增 (0 → kr),y 坐標差值亦遞增。
上圖右,即圖示∠POR 與 ∠QOR 之關係。紅藍兩圓半徑比 = 2 : 1,從而 cos∠POR / cos∠QOR = 1/2。當 P 點的 x 坐標由 0 遞增至 r/2,PS 線段長亦隨之遞增 (依上述), 從而 θ 角亦遞增 (由 △POS 之正弦定理,或在本題亦可用 △POQ 之中線定理)。
綜上,得 0° < θ < 60°。
(若本題的餘弦比是其他常數,亦可類比以上圖解與結果)