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105彰化高中

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\({{\left( 10a+b \right)}^{2}}=100{{a}^{2}}+20ab+{{b}^{2}}\)

20ab的十位數字一定是偶數,所以\({{b}^{2}}\)的十位數字一定要奇數,才能符合所求
而\({{b}^{2}}\)的十位數字要奇數,b不是4就是6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-16 03:41 PM 編輯 ]

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謝謝piano老師,我解出來了。

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第一題

注意到 x, y, z ,u 都要是正整數,
所以x,y,z都要解出來檢查是否符合,
(例如:若\( \Delta_y=17u \),u 就要取34而x 最小166)
不能只算其中一項。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2016-6-17 05:58 PM 編輯 ]

附件

105彰中1.pdf (173.49 KB)

2016-6-17 17:58, 下載次數: 3285

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1. 下列方程組

x + y = 3*(z + u)

x + z = 4*(y + u)

x + u = 5*(y + z)

的解 (x, y, z, u),其中 x,y,z 與 u 皆為正整數,求 x 可能的最小值為何?


構想: 由於本題係數分配的特殊性,可以用小學生式的想法解題。

解: 題目三式,分別給出了 x+y,x+z,與 x+u 對於 x+y+z+u 的比值,依序為: 3/44/55/6

⇒ x / (x+y+z+u) = [ (3/4) + (4/5) + (5/6) -1 ] / 2 = 83/120

至此,因 83 是質數,且 120 為 4,5,6 之公倍數,即知 x 的最小值 = 83

(當然亦可依序由藍減綠,得 x : y : z : u = 83 : 7 : 13 : 17 ⇒ 所求 = 83)


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