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105台南女中

回復 10# byron0729 的帖子

第12題
函數\(f(x)=x^3-9x^2+15x-7\)圖形的切線中,過點\(P(0,a)\)的恰有相異兩條,求\(a\)之值=   
[解答]
過切點\(\left( t,{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)\)的切線為\(y-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( x-t \right)\)
過 P(0,a)
\(\begin{align}
  & a-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( 0-t \right) \\
& a=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7 \\
\end{align}\)
恰有兩條相異切線,表示\(y=a\),和\(y=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7\)恰有兩交點
\(\begin{align}
  & y'=-6{{t}^{2}}+18t=0 \\
& t=0\ or\ 3 \\
& a=-7\ or\ 20 \\
\end{align}\)

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回復 10# byron0729 的帖子

填充第11題
\( \displaystyle f(x)=\int_2^x (t-7)(t+3)dt \),求曲線\( y=f(x) \)的所有切線中,斜率最小的切線方程式   
[解答]
\( f ' (x) = (x - 7)(x + 3) = (x - 2)^2 - 25 \)
\( x = 2 \)時,斜率最小是\( -25 \)
\( f(2) = 0 \)
所求為\( y = -25(x - 2) \)

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回復 16# mcgrady0628 的帖子

填充第10題
\( (x+\sqrt{3})^{21}+(1-x)^{32}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{32}x^{32} \),若\( a_0 -a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{32}=2^k \),求\( k= \)   
[解答]
\(f\left( x \right)={{\left( x+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-x \right)}^{32}}\)
所求為\(f\left( i \right)\)的實部
\(\begin{align}
  & f\left( i \right)={{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-i \right)}^{32}} \\
& ={{\left[ {{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{3}} \right]}^{7}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{16}} \\
& ={{\left( 8i \right)}^{7}}+{{\left( -2i \right)}^{16}} \\
& ={{2}^{16}}-{{8}^{7}}i \\
\end{align}\)

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回復 20# anyway13 的帖子

是\(25{{b}^{2}}+\left( 8k-18 \right)b+{{k}^{2}}=0\)才對

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