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105台南女中

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回復 10# byron0729 的帖子

第12題
過切點\(\left( t,{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)\)的切線為\(y-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( x-t \right)\)
過 P(0,a)
\(\begin{align}
  & a-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( 0-t \right) \\
& a=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7 \\
\end{align}\)
恰有兩條相異切線,表示\(y=a\),和\(y=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7\)恰有兩交點
\(\begin{align}
  & y'=-6{{t}^{2}}+18t=0 \\
& t=0\ or\ 3 \\
& a=-7\ or\ 20 \\
\end{align}\)

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填充4
任意填色:
4*4*4*4=256

1&4同色and2&3同色:
會有自身旋轉後為自己。
但是任意填色時,就不會排出2個。
如:ABBA、AAAA等。
因此,不需要除以2。
共計有(4*1)*(4*1)=16

而其餘的部分:
ABCD和DCBA要視為1種。
ABCA和ACBA要視為1種。
ABBC和CBBA要視為1種。
因此,需要除以2。

故此,
(256-16)/2+16=136。

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填充13
求區域\( S=\{\; (x,y)|\; 0\le a \le 1,0 \le b \le 1,x=a+b+1,y=2a-3b+1 \}\; \)所圍成的區域面積  

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回復 10# byron0729 的帖子

填充第11題
\( \displaystyle f(x)=\int_2^x (t-7)(t+3)dt \),求曲線\( y=f(x) \)的所有切線中,斜率最小的切線方程式   
[解答]
\( f ' (x) = (x - 7)(x + 3) = (x - 2)^2 - 25 \)
\( x = 2 \)時,斜率最小是\( -25 \)
\( f(2) = 0 \)
所求為\( y = -25(x - 2) \)

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填充 5
空間中三非零向量\( \vec{OA} \),\( \vec{OB} \),\( \vec{OC} \),\( ∠AOB=30^{\circ} \),\( ∠BOC=45^{\circ} \),\( ∠COA=60^{\circ} \),令\( \theta \)為平面\( AOB \)及平面\( BOC \)的法向量夾角,則\( |\; cos \theta |\;= \)   
[解答]
既然二面角的度量,是取與交線垂直的平面角,不妨直接令 AB⊥OB, CB⊥OB,所求即 |cos∠ABC|。

令 AB = 1,則 OA = 2,OB = BC = √3,OC = √6 。

由餘弦定理:

△AOC 中,AC² = 10 - 2√6

△ABC 中, |cos∠ABC| =  | (1 + 3 - AC²) / 2√3 | = | (2√6 - 6) / 2√3 | = √3 - √2

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可以問第10題嗎?

謝謝

[ 本帖最後由 mcgrady0628 於 2016-4-27 04:53 PM 編輯 ]

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回復 16# mcgrady0628 的帖子

填充第10題
\( (x+\sqrt{3})^{21}+(1-x)^{32}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{32}x^{32} \),若\( a_0 -a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{32}=2^k \),求\( k= \)   
[解答]
\(f\left( x \right)={{\left( x+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-x \right)}^{32}}\)
所求為\(f\left( i \right)\)的實部
\(\begin{align}
  & f\left( i \right)={{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-i \right)}^{32}} \\
& ={{\left[ {{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{3}} \right]}^{7}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{16}} \\
& ={{\left( 8i \right)}^{7}}+{{\left( -2i \right)}^{16}} \\
& ={{2}^{16}}-{{8}^{7}}i \\
\end{align}\)

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回復 17# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大大!

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回復 13# csihcs 的帖子

挑個計算錯,應該是\(2x+y=5b+1 \),不是\(5b+3\)。

但其實因為平移不影響面積,因此這一題一開始就直接看成\(a+b\)與\(2a-3b\)圍成的區域

用二階行列式可以求出來是\(a\)和\(b\)圍成區域的5倍。
千金難買早知道,萬般無奈想不到

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請教填充第三題

\(z\)是一個複數,\( |\; z-i |\;=1 \),\( i=\sqrt{-1} \),則\( (3+4i)z \)實部的最大值為   

想請問版上老師第三題  是令\( z=a+bi \)帶入\( |\; z-i |\;=1 \)得到第一式\( a^2+(b-1)^2=1 \)

接者帶入\( (3+4i)z \)中得到\( (3a-4b)+(4a+3b)i \)因為是要求實部的部分為最大

所以令\( k=3a-4b \)整理得\( \displaystyle a=\frac{k+4b}{3} \)然後帶入第一式   得\( 25b^2+24kb-18b+k^2=0 \)

利用\(b\)是實數  判別式\(\ge\)  最後得到\( \displaystyle k \le \frac{9}{17} \) or \( \displaystyle k \ge \frac{9}{7} \)   ......和公告得答案不同

可以請問一下哪裡做錯了嗎?   謝謝!

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