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105台南女中

填充題
1.
\(n\)為自然數,若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \),\( a_{n+1}=2(a_n+1) \),求數列\(  \)的第100項\(a_{100}=\)   
(我的教甄準備之路 求數列一般項,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)


9.
\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差,求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值   

將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\),其標準差記為\(b_n\),則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)   ,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)   
(81大學聯考,https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)


計算題
1.
\(n\)為正整數,証明:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!=(n+1)!-1 \)
[提示]
\( k \cdot k!=(k+1)!-k! \)


2.
\(f(x) \)是二次多項式,若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \),求\(a+b+c\)。
[解答]
差分
\( \matrix{f(11)& &f(12)& &f(13)& &f(14)& &f(15) \cr
 &f(12)-f(11)& &f(13)-f(12)& &f(14)-f(13)& &f(15)-f(14)& \cr
 & &f(13)-2f(12)+f(11)& &f(14)-2f(13)+f(12)& &f(15)-2f(14)+f(13)& & }\)

得到
\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \)

\( f(13)-2f(12)+f(11)=f(14)-2f(13)+f(12) \) , \( 3f(13)=f(14)+3f(12)-f(11) \)
\( f(14)-2f(13)+f(12)=f(15)-2f(14)+f(13) \) , \( f(15)+3f(13)=3f(14)+f(12) \)
兩式相減得
\( f(15)=2f(14)-2f(12)+f(11) \)

延伸閱讀
巴貝奇定理,https://math.pro/db/thread-673-1-1.html

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