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105中壢高中

回復 3# wrty2451 的帖子

計算第2題
設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{7}+isin\frac{2\pi}{7}\),則\((2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)\)之值為?
[提示]
應該是題目出錯了,後來更正的答案很醜

以\(\omega ,{{\omega }^{3}},{{\omega }^{5}}\)為三根的方程式為\(\left( x-\omega  \right)\left( x-{{\omega }^{3}} \right)\left( x-{{\omega }^{5}} \right)=0\)
利用根與係數,最後 代2進去就能求出答案

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回復 6# martinofncku 的帖子

第5題
雙曲線\(\Gamma\):\(xy=1\)在第一象限中,一弦\(\overline{AB}\)以\(D(4,1)\)為中點,\(C\)點在\(\Gamma\)部分曲線\(AB\)上(即直線\(AB\)下方第一象限中的\(\Gamma\)曲線),求\(C\)點到弦\(\overline{AB}\)距離的最大值為   
[解答]
A和B是曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)和直線\(y=m(x-4)+1\)的兩個交點
利用\(\displaystyle \frac{1}{x}=m(x-4)+1\)的兩根和\(=4\times 2=8\),可求出\(\displaystyle m=-\frac{1}{4}\)
令\(\displaystyle C\left( t,\frac{1}{t} \right)\),剩下的就是點到直線的距離,用算幾求最大值

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第10題
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\),\(|\;z|\;=10\),設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\),求\(tan^2 \theta\)的最大值為   
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{\sin \left( \pi -\theta  \right)}=\frac{10}{\sin \alpha } \\
& \sin \theta =\frac{\sin \alpha }{10} \\
& {{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{100}\le \frac{1}{100} \\
& {{\tan }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }=\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{1-{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{1}{1-{{\sin }^{2}}\theta }-1\le \frac{1}{1-\frac{1}{100}}-1=\frac{1}{99} \\
\end{align}\)

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20160426.jpg (48.16 KB)

2016-4-26 13:48

20160426.jpg

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回復 9# litlesweetx 的帖子

第 3 題
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根,求\(m\)之範圍為   
[解答]
直線 y = mx - 3m 必過 (3,0),把它和橢圓 \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+6 \right)}^{2}}}{25}=1\) 都畫出來
易知 m 超過某個值後,會與橢圓有 2 個交點

變形一下
令 \(x=\frac{3}{5}u,y=v\)
橢圓轉為圓 \({{u}^{2}}+{{\left( v+6 \right)}^{2}}={{5}^{2}}\),直線轉為 \(\frac{3}{5}mu-v-3m=0\)
利用 \(\frac{\left| 6-3m \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{3}{5}m \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=5\),可求出\(m=\frac{11}{36}\)
所求為\(m>\frac{11}{36}\)

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回復 13# Sandy 的帖子

兩邊微分

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回復 28# 阿光 的帖子

第8題
\(\begin{align}
  & {{\log }_{2}}\left\{ {{\log }_{2}}\left( \left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right| \right) \right\}<0 \\
& 0<{{\log }_{2}}\left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right|<1 \\
& 1<\left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right|<2 \\
& -2<x-\left[ \frac{x+1}{2} \right]<-1\quad or\quad 1<x-\left[ \frac{x+1}{2} \right]<2 \\
& x+1<\left[ \frac{x+1}{2} \right]<x+2\quad or\quad x-2<\left[ \frac{x+1}{2} \right]<x-1 \\
\end{align}\)
分別畫出\(y=x+2,y=x+1,y=x-1,y=x-2,y=\left[ \frac{x+1}{2} \right]\)的圖形,即可求出答案

可參考信哥在https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2486&page=1#pid15132的圖形

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回復 30# anyway13 的帖子

(7,1,1) 是 36 種
(6,2,1) 的式子後面應是 C(1,1)
另外少算了 (3,3,3)

另解
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=28752#p28752

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