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105武陵高中

回復 19# thepiano 的帖子

計算證明題6.
設\(\Delta ABC\)的邊長均為正整數,且全等的三角形視為同一種,則:
(A)周長為2013
(B)周長為2016
\(A\)和\(B\)情況哪一個的三角形比較多種,為什麼?
[解答]
但是這題只問兩者的大小,所以建立一一對應關係:

(a,b,c)→(a+1,b+1,c+1)

稍微判斷一下三角形兩邊和大於第三邊條件,可知邊長2013的三角形會和2016的三角形一樣多

ps:如果改成2016、2019就不一樣多了(2019比較多)

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回復 1# EZWrookie 的帖子

計算證明題1.
設\(ABCD\)為一凸四邊形,證明\(\overline{AB}\times \overline{CD}+\overline{AD}\times \overline{BC}\ge \overline{AC}\times \overline{BD}\),並說明等號成立的條件。
[解答]
最近在書上看到一個蠻簡單漂亮的證明。

以A為反演中心,任取半徑r>0的反演圓。將B、C、D作反演得到B'、C'、D'
則B'C'=(BC*r*r)/(AB*AC)、B'D'=(BD*r*r)/(AB*AD)、C'D'=(CD*r*r)/(AC*AD)

由三角不等式B'C'+C'D'>=B'D'
化簡即得到AB*CD+AD*BC>=AC*BD

等號成立條件為B'、C'、D'共線,即ABCD共圓

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