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105武陵高中

回復 1# EZWrookie 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止,求投擲次數的期望值。
[解答]
\(E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{3}}\times 3+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+3 \right]+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right]\)

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回復 3# cefepime 的帖子

原來題意沒有指定特定的點數,所以小弟的答案應該要再除以6才是正解43

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回復 3# cefepime 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止,求投擲次數的期望值。
[解答]
小弟修正一下自己的算式
\(\begin{align}
  & E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\times 3+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right] \\
& E\left( X \right)=43 \\
\end{align}\)

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回復 11# cefepime 的帖子

cefepime 兄,這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊

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2.
因應武陵高中校慶,校方準備了\(m\)個禮物要在\(n\)天發完,發法如下;第一天先發一個,再從剩餘的\(m-1\)個禮物選\(\displaystyle \frac{1}{7}\)送出去;第二天先送出兩個,再從剩餘的禮物中挑\(\displaystyle \frac{1}{7}\)發出去。按照此發法,在第\(n\)天的時候發出\(n\)個剛好全部發完,請問數對\((m,n)=\)?
[解答]
設第\(k\)天頒完後,剩\({{a}_{k}}\)個禮物
\(\begin{align}
  & {{a}_{0}}=m,{{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{k}}=\frac{6}{7}\left( {{a}_{k-1}}-k \right) \\
& {{a}_{k-1}}=\frac{7}{6}{{a}_{k}}+k \\
& m={{a}_{0}}=1+2\times \frac{7}{6}+3\times {{\left( \frac{7}{6} \right)}^{2}}+\cdots \cdots +n{{\left( \frac{7}{6} \right)}^{n-1}}=\left( n-6 \right)\times \frac{{{7}^{n}}}{{{6}^{n-1}}}+36 \\
& \left( {{7}^{n}},{{6}^{n-1}} \right)=1,n-6<{{6}^{n-1}},m\in N \\
& n=6,m=36 \\
\end{align}\)

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引用:
原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解,周長為2013的三角形 ,有多少個?
(2) 邊長是正整數解,周長為2016的三角形,有多少個?
這是整數分拆的難題,兩者答案都是84672個

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回復 27# leo790124 的帖子

先丟出1個點數後,接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數,視為重新丟出1個點數,但期望值多1

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回復 29# son249 的帖子

填充第1題
設\(2\le n \le 1999\),試問有多少個正整數\(n\),使得存在大於1的正整數\(a,b\)且滿足\(log_a n=b\)?
[解答]
a^b = n,a>1,b>1,2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2,a = 2 ~ 44,計 43 個
(2) b = 4、6、8、10,a^b = n 都是平方數,與 (1) 同,不計
(3) b = 3,a = 2 ~ 12,扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2,計 9 個
(4) b = 5,a = 2 ~ 4,扣掉 4^5 = 32^2,計 2 個
(5) b = 7,a = 2,計 1 個
(6) b = 9,a = 2,2^9 = 8^3,不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個

填充第4題
設\(x,y,z\)為正整數,且\(xyz=2^{12}\cdot 3^2\),求\(x+y+z\)可以被4整除的機率。
[解答]
\(xyz={{2}^{12}}\times {{3}^{2}}\)
數對(x,y,z)有\(H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}\)組
x+y+z是4的倍數,有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數:有\(H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(2)只有1個是4 的倍數,另2個只是2的倍數而非4的倍數:有\(C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(3) 1個是\({{2}^{12}}\times 3\),另2個是1和3:有3!種情形
所求\(\begin{align}
  & =\frac{H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}+C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}+3!}{H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}} \\
& =\frac{32}{91} \\
\end{align}\)

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回復 29# son249 的帖子

計算證明題2.
已知\(\Delta ABC\)的\(\angle A=\theta\)和內切圓半徑\(r\)為定值,請問在此條件下,\(\Delta ABC\)的周長最小為何?
[解答]
周長為\(\displaystyle 2r\left( \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \right)\)

只要考慮\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)何時有最小值

令\(\frac{B}{2}=x+y,\frac{C}{2}=x-y\)
\(x=\frac{B+C}{4},y=\frac{B-C}{4}\)
\(\begin{align}
  & \cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \\
& =\cot \left( x+y \right)+\cot \left( x-y \right) \\
& =\frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}+\frac{1+\tan x\tan y}{\tan x-\tan y} \\
& =\frac{2\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}y} \\
\end{align}\)
由於\(\tan x\)是定值,故\(\tan y=0\),即\(B=C\)時,\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)有最小值

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