5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
我在想，解這個題目應該也可以套用"幾何分配"的性質:
重複進行一成功機率為 p (>0) 之試驗 (每次試驗為獨立事件)，直至第一次試驗成功為止，則試驗次數之期望值 = 1/p。
現考慮: 擲一公正骰子，連續出現 n (>1) 次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。
思考: 由於 "連續出現 n 次相同數字" 是基於先 "連續出現 n-1 次相同數字"，繼之成功機率為 1/6。套用上述"幾何分配"的性質，有:
E(n) = 6*E(n-1) + 1，在此 E(k) 是指連續出現 k 次相同數字才停止之投擲次數期望值。
由 E(1) = 1，得 E(2) = 7，E(3) = 43，E(4) = 259，...。
一般式為 E(n) = (6ⁿ -1) / 5。
