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104高中數學能力競賽

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請教104年高中數學學科能力測驗三題

104嘉義區複賽試題(一)
一、\(\Delta ABC\)的\(∠ACB\)的分角線交\(\overline{AB}\)於\(P,A_1,B_1\)分別為\(A,B\)對分角線\(\overline{CL}\)的對稱點,\(A_2,B_2\)分別為\(A,B\)對點\(P\)的對稱點,\(O_1,O_2\)分別為\(\Delta AB_1B_2,\Delta BA_1A_2\)的外心,證明\(∠O_1CA=∠O_2CB\)。

二、已知\(a,b,c\)都是正實數且\(a+b+c=3\),證明\( \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le \frac{3}{4} \)。

三、
(a)若\(x,y,s\)為實數,求證\([sx+(1-s)y]^2=sx^2+(1-s)y^2-s(1-s)(x-y)^2\)。
(b)若\( f:R \rightarrow R \)為一函數且對所有實數\(x,y\),不等式\( |\; f(x)-f(y) |\; \le |\;x-y |\; \)均成立。已知實數\(u,v\)滿足\(f(u)=u,f(v)=v\),求證對所有\(0\le t \le 1\),\(f(tu+(1-t)v)=tu+(1-t)v\)。


麻煩大家給我一些提示,謝謝!

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第二題用切線法(有點暴力)的證明

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切線法.PNG (31.16 KB)

2016-4-23 21:38

切線法.PNG

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上面過程可能有問題喔~
取a=0.5   b=1   c=1.5
代入您改的那個值總和會超過0.75

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-4-24 11:54 PM 編輯 ]

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我發現了@@反號了 我再想想

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後來發現這是2009伊朗選訓營的題目(教授真狠@@)
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h275815p1492633
下面colorfuldreams的解比較簡潔

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不知道可不可以?

請參考

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image.jpg (1.87 MB)

2016-4-26 08:48

image.jpg

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因為題目的條件我們知道PA=PA1=PA2,於是P落在A1A2的中垂線上,同理P在B1B2的中垂線上,故O1、P、O2三點共線。
另外,注意到A1A和B1B都與CP垂直,因此A1A//B1B。又CA1=CA,CB1=CB,得A1B=B1A,故AB1BA1是等腰梯形,可作外接圓(如圖,圓心O)
此時,直線CB1A是上面兩圓的根軸,直線CA1B是下面兩圓的根軸,因此C是三圓的根心。
由於CA1是根軸,O1O是連心線,故CA1是O1O的垂線,同理CA是O2O的垂線,故C是三角形OO1O2的垂心,於是OC也垂直O1O2,又C是根心,故OC是圓O1和O2的根軸,
PO1=PO2,於是CO1O2是等腰三角形,故角O2CP=角O1CP,又CP是分角線,證畢。

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2016-4-25 12:34

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回復 8# catlee 的帖子

最後一行是不是反號了?
如果我取1/x+1/y+1/z=1,不等式仍成立

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回復 4# yadisbeles 的帖子

請注意到  f(0)=13/8-2<0,故 f(x)無法在(0,3)恆正

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後來發現之前的解太複雜了,這個解法比較好

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2016-5-31 13:15

德政.PNG

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