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104高中數學能力競賽

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104高中數學能力競賽

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/index.php?menu=exam (連結已失效)
這邊有104學年度的各區考題
但中投區筆試二點進去是error404,請問有人有這份題目嗎?謝謝!


106.9.17補充
設\(a,b\)為整數,如果多項式\(x^2-x-1\)為\(ax^{17}+bx^{16}+1\)的因式,試求\(a\)之值。
(第六區(台南區)筆試2試題)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=1#pid3758
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

108.5.18補充
證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
104高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題

109.6.25補充
設\(a\)、\(b\)為正整數,若\(a^{20}\)為31位數,\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0,則\((ab)^5\)是   位數。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完),要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數,這樣的裝法種數共有   種。
(104高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

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第二題用切線法(有點暴力)的證明

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切線法.PNG (31.16 KB)

2016-4-23 21:38

切線法.PNG

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我發現了@@反號了 我再想想

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後來發現這是2009伊朗選訓營的題目(教授真狠@@)
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h275815p1492633
下面colorfuldreams的解比較簡潔

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因為題目的條件我們知道PA=PA1=PA2,於是P落在A1A2的中垂線上,同理P在B1B2的中垂線上,故O1、P、O2三點共線。
另外,注意到A1A和B1B都與CP垂直,因此A1A//B1B。又CA1=CA,CB1=CB,得A1B=B1A,故AB1BA1是等腰梯形,可作外接圓(如圖,圓心O)
此時,直線CB1A是上面兩圓的根軸,直線CA1B是下面兩圓的根軸,因此C是三圓的根心。
由於CA1是根軸,O1O是連心線,故CA1是O1O的垂線,同理CA是O2O的垂線,故C是三角形OO1O2的垂心,於是OC也垂直O1O2,又C是根心,故OC是圓O1和O2的根軸,
PO1=PO2,於是CO1O2是等腰三角形,故角O2CP=角O1CP,又CP是分角線,證畢。

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2016-4-25 12:34

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回復 8# catlee 的帖子

最後一行是不是反號了?
如果我取1/x+1/y+1/z=1,不等式仍成立

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後來發現之前的解太複雜了,這個解法比較好

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2016-5-31 13:15

德政.PNG

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