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104高中數學能力競賽

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回復 1# yadisbeles 的帖子

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/exam/104複賽-中投筆試(二).pdf (連結已失效)

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回復 3# 王重鈞 的帖子

應該主辦單位才會有

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\(\begin{align}
  & \overline{OA}=\overline{PB}=a,\overline{SC}=\overline{RB}=1-a,\overline{PA}=\overline{QB}=\overline{RC}=b \\
& \overline{MN}=\frac{\overline{OA}+\overline{SC}}{2}=\frac{1}{2} \\
& \overline{BN}=c \\
& b+a+c=\left( 1-a \right)-c+b \\
& \overline{PN}=a+c=\frac{1}{2} \\
& \overline{PR}+\overline{PM}+\overline{RM}=1+\sqrt{2} \\
\end{align}\)

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20160403_3.jpg (29.94 KB)

2016-4-3 11:10

20160403_3.jpg

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回復 5# leo790124 的帖子

剛看到某位老師的妙解
取 OQ 中點 N,SQ 中點 K
證明 △PMN 和 △MRK 全等 (SAS)
進而證明 △PMR 是等腰直角三角形

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MKQN 是平行四邊形
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 度

在 △PMN 中
∠2 + ∠3 + ∠4  = 90 度

故 ∠1  = 90 度

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20160404.jpg (43.44 KB)

2016-4-4 20:22

20160404.jpg

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回復 1# peter0210 的帖子

\(\begin{align}
  & \left( 5n-8 \right){{S}_{n+1}}-\left( 5n+2 \right){{S}_{n}}=-20n-8\cdots \left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{S}_{n+2}}-\left( 5n+7 \right){{S}_{n+1}}=-20n-28\cdots \left( 2 \right) \\
& \left( 2 \right)-\left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}+5{{S}_{n+1}}-\left( 5n+7 \right){{a}_{n+1}}-5{{S}_{n}}=-20 \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-\left( 5n+2 \right){{a}_{n+1}}=-20\cdots \left( 3 \right) \\
& \left( 5n-8 \right){{a}_{n+1}}-\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=-20\cdots \left( 4 \right) \\
& \left( 3 \right)-\left( 4 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-2\left( 5n-3 \right){{a}_{n+1}}+\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{n+2}}+{{a}_{n}}=2{{a}_{n+1}} \\
\end{align}\)

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試題 2 第 3 題
設另二根為\(c,d\),且\(a+b=m,ab=n\)
\( \cases{a+b+c+d=3 \cr ab+(a+b)(c+d)+cd=1 \cr ab(c+d)+cd(a+b)=2 \cr abcd=4} \)
\( \cases{\displaystyle n+m(3-m)+\frac{4}{n}=1 \ldots (1) \cr n(3-m)+\frac{4m}{n}=2\ldots \ldots(2)} \)
由(2),\( \displaystyle m=\frac{2n-3n^2}{4-n^2} \)代入(1)化簡後可得
\(n^6-n^5+2n^4-32n^3+8n^2-16n+64=0\)

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回復 2# peter0210 的帖子

試題 2 第 4 題
設內切圓圓心
作CD垂直OA於D,CE垂直 OB 於 E,CF垂直 AB 於 F
OD=OE=x,BE=BF=y,AF=AD=1-x
\(\begin{align}
  & {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( 1-x+y \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\quad ,0<x<1,0<y\le \frac{\sqrt{2}-1}{2} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-16 03:07 PM 編輯 ]

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