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62-81大學聯考試題

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請教一題大學聯考計算題

(出處: 1998 年,自然組)  

設 a > 0,O (0,0) 為原點。在拋物線 ay = a² - x² 上取一點 P(s , t),s > 0。過 P 點作拋物線之切線,交 x軸, y軸於 Q,R 兩點。當 P 點變動時,△OQR 面積的最小值為何?   答案: (4√3/9)a²

請教若要指導高中生解此題,各位高明會採取何種方法? 謝謝!

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感謝 eyeready 老師提供的高見。


先求切線 (可考慮: 切點微分,切點代一半公式,斜率公式) → 截距 → 目標函數 → 微分或算幾不等式求最小值。

這個標準的方法計算量稍大 (以考試時間與對象而言),所以思及命題者是否另有用意。


自己琢磨一個方法,只是不知道此法在計算題是否可得分:

依題意, ay = a² - x² P 點與 xy = k (k > 0) 相切,所求 = 2k。

⇒  a² - x² = ak/x 有(正)重根 (或者用切點代一半公式於兩曲線,再比較係數)

⇒  x³ - a²x + ak = 0 有(正)重根

⇒  x³ - a²x + ak = 0 3x² - a² = 0 有(正)公根 (或者把上式設為 (x-b)²(x-c),再比較係數)

此公根 x = a /√3,代回得 y = 2a /3

所求 = 2*(a /√3)*(2a /3) = (4√3/9)a²


請教此法是否適當,或另有其它作法,謝謝!

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剛發現本題曾在 101屏東女中 考過 (第8題)

https://math.pro/db/thread-1386-1-9.html


(續 3#)  該方法的構思如下:

類似於若題目求 2x - y 與 x² + y² 的最小值,則我們會分別考慮 2x - y 與 x² + y² 為定值的圖形,再分析該定值變動時的圖形變化一樣 --

依題意,先考慮一個問題: 在第一象限與 x, y 軸所圍三角形面積為定值 c 的所有直線集合為何?

→ 不難想到 (與證明) 其即為 xy = c/2 在第一象限支的所有切線集合 (x, y 軸為雙曲線 xy = c/2 的漸近線)

→ 考慮 xy = c/2 的圖形變化,將 c 由 0 附近遞增,即知當 △OQR 面積有最小值時,該拋物線在 P 點與 xy = c/2 相切

→ 以下如原帖 (3#) 所述  


( 我以前用的圖床不能用了,請教如何把個人電腦裡"小畫家"的檔案直接上傳? )

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-7-24 08:35 AM 編輯 ]

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謝謝版主的回覆!

我也是如此嘗試,但總出現以下畫面:

http://imgur.com/a/4C15C

(圖檔不大, png)


請教是否權限不足?

謝謝版主熱心幫助 (敬禮!!)


我用你的png檔可以可以上傳成功,還是你將來放在imgur,我會幫你上傳到math pro

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-7-23 06:41 PM 編輯 ]

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請教一題1974年聯考題

題目與答案來源是 bugmens 老師提供的連結 https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html

(選擇題) 設 f(x) = (x¹⁵+1)(x+1) / (x+1)(x³+1),則 (A)  f(x) 不是多項式  (B) ...

針對(A)選項,我的想法是: 雖然 f(x) 可以"約分"成多項式型態,但 f(x) 在 x = -1 處無定義,與"約分"後之多項式不同,故(A)是對的。

但答案(A)是錯的,並認為 f(x) = "約分"後之多項式。

請教是否我的觀念有誤,謝謝!

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謝謝 thepiano 老師的解答,不知是否該版本的答案有誤?

是否有版友可提供其他來源的解答以供參照,感謝!

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