團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。
[解答]
令\(\overline{PA}=1,\angle APC=x\)

\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AB}}{\sin 160{}^\circ }=\frac{1}{\sin 10{}^\circ } \\
& \overline{AB}=\frac{\sin 160{}^\circ }{\sin 10{}^\circ }=2\sin 80{}^\circ  \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin x}=\frac{1}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
& \overline{AC}=\frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
&  \\
& \frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)}=2\sin 80{}^\circ  \\
& x=80{}^\circ  \\
\end{align}\)

另一題做法差不多，答案是104度

用看的就可以了，反正 x 僅有一解嘛

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)
[解答]
\(\begin{align}
  & xyz+x+z=y \\
& z=\frac{y-x}{1+xy} \\
& x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C\quad \left( 0\le A,B,C<\frac{\pi }{2} \right) \\
& C=B-A \\
& \frac{2}{1+{{x}^{2}}}-\frac{2}{1+{{y}^{2}}}+\frac{3}{1+{{z}^{2}}} \\
& =2{{\cos }^{2}}A-2{{\cos }^{2}}B+3{{\cos }^{2}}C \\
& =1+\cos 2A-1-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =\cos 2A-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =2\sin \left( B+A \right)\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& \le 2\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =-3{{\left( \sin C-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{10}{3} \\
\end{align}\)

已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？
[解答]
Google
許介彥教授的大作
"生成函數在計數問題的應用"，第6頁

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)
[提示]
令\( b + 3c = x\)，\(8c + 4a = y\)，\(3a + 2b = z\)
分別把\( a、b、c \)用\( x、y、z \)表示
化簡後用算幾

\(\begin{align}
  & \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \\
& =\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{9c}{z} \\
& =\frac{-8x+3y+4z}{24x}+\frac{8x-3y+4z}{16y}+\frac{9\times \left( 8x+3y-4z \right)}{48z} \\
& =-\frac{1}{3}+\frac{y}{8x}+\frac{z}{6x}+\frac{x}{2y}-\frac{3}{16}+\frac{z}{4y}+\frac{3x}{2z}+\frac{9y}{16z}-\frac{3}{4} \\
& =\left( \frac{y}{8x}+\frac{x}{2y} \right)+\left( \frac{z}{4y}+\frac{9y}{16z} \right)+\left( \frac{z}{6x}+\frac{3x}{2z} \right)-\frac{61}{48} \\
& \ge \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1-\frac{61}{48} \\
& =\frac{47}{48} \\
\end{align}\)

第 1 題
純幾何的解法