97中和高中

設 \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數值。

對任意正整數 \(n\)，定義 \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n}{k}\right]\)，求 \(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}.\)

解答：

因為 \(2002 = 2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\)，所以 \(2002\) 的正因數有 \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\) 個。



若 \(k\) 為 \(2002\) 的正因數，則 \(\displaystyle \frac{2002}{k}\) 是整數 \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}-\frac{1}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}\right]-1\)，

　　\(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 比 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 恰多 \(1\)。



若 \(1<k<2002\) 且 \(k\) 不為 \(2002\) 的正因數，則

　　存在整數 \(q,r\) 使得 \(2002=qk+r\)，其中 \(0<r<k\,\Rightarrow\, 0 \leq r-1<k-1\)，

　　\(\Rightarrow 2001 = qk + (r-1)\)

　　\(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2002}{k}\right]=q=\left[\frac{2001}{k}\right]\)，

　　\(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 與 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 相等。



故，\(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}=16.\)