10.
若\( |\; Z |\;=1\)且滿足\(Z^{28}-Z^8-1=0\)的複數共有\(n\)個，假設\(z_k=cos \theta_k+i sin \theta_k\)，其中\( 0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\theta_3<\theta<\ldots<\theta_n<360^{\circ} \)，則(1)\(n=\)？　(2)求\(\theta_1+\theta_3+\theta_5+\ldots+\theta_{n-1}=\)？

2001 AIME II Problem 14

\(\begin{align}
  & {{z}^{8}}+1={{z}^{28}} \\
& \left| {{z}^{8}}+1 \right|=\left| {{z}^{28}} \right|={{\left| z \right|}^{28}}=1 \\
\end{align}\)
\({{z}^{8}}\)在複數平面上所成的圖形是以(-1，0)為圓心，半徑為1的圓
而\(\left| {{z}^{8}} \right|=1\)
\({{z}^{8}}\)在複數平面上所成的圖形是單位圓
由兩圓交點可知，\({{z}^{8}}=\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi \ or\ \cos \frac{4}{3}\pi +i\sin \frac{4}{3}\pi \)

第 2 題
從最高層到最底層分別放1，3，6，10個球
最底層10個的放法是每邊4個

疊好四層的球後，四個角落的4個球之球心形成一個小正四面體

令球半徑為\(x\)，小正四面體之邊長為\(6x\)
小正四面體和題目中的正四面體之中心相同
而中心到四個面的距離是正四面體高的

\(\begin{align}
  & \text{6x}\times \frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{4}+x=1\times \frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{4} \\
& x=\frac{3-\sqrt{6}}{6} \\
\end{align}\)

亦可參考
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=3#pid2969